基本积分表¶
$$\int kdu = ku+C$$$$\int u^\mu du =\frac{u^{\mu+1}}{\mu+1} +C$$$$\int \frac{1}{u}du = \ln|u|+C$$$$\int a^udu = \frac{a^u}{\ln a}+C$$$$\int e^udu = e^u+C$$$$\int \sin u du = -\cos u+C$$$$\int \cos udu = \sin u+C$$$$\int \sec^2 u du = \tan u+C$$$$\int \csc^2 u = -\cot u+C$$$$\int \sec u \cdot \tan udu = \sec u+C$$$$\int \csc u \cdot \cot u du = -\csc u+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}du} = \arcsin u+C$$$$\int \frac{1}{1+u^2}du = \arctan u+C$$
定积分的性质¶
和、差的运算性质¶
$$\int_a^b (f(x)\pm g(x)du = \int_a^b f(x) + \int_a^b g(x)$$
数乘的运算性质¶
$$\int_a^b kf(x)du = k \int_a^b f(x)$$
近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07．1970年初，消耗量大约为161亿桶．设R(t)表示从1970年起第t年的石油消耗率，已知 $R(t)=161e^{0.07t}$亿桶，试用此式计算从1970年到1990年间石油消耗的总量．
解：
设T(t)表示从1970年（t=0)起到第t年石油消耗的总量. $T'(t)$就是石油消耗率R(t)，即$T '(t) =R(t)$ ，于是由变化率求总改变量，得
$$T(20)-T(0)=\int_0^{20}R(t)dt=\int_0^{20}161e^{0.07t}$$
使用凑微分的方法
$$\int_0^{20}161e^{0.07t}=\frac{161}{0.07}\int_0^{20} e^{0.07t}d0.07t$$
令$0.07t=u$
$$\frac{161}{0.07}\int_0^{20} e^{0.07t}d0.07t=\frac{161}{0.07}\int_0^{1.4} e^{u}du$$
得
$$\frac{161}{0.07}e^u|_0^{1.4}=2300(e^{1.4}-1)\approx 7027$$